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大白话 5 分钟带你走进人工智能 - 第四节最大似然推导 mse 损失函数（深度解析最小二乘来源）（2）

第四节最大似然推导 mse 损失函数（深度解析最小二乘来源）（2）

上一节我们说了极大似然的思想以及似然函数的意义，了解了要 使模型最好的参数值就要使似然函数最大，同时损失函数（最小二乘）最小， 留下了一个问题，就是这两个因素或者目的矛盾吗？今天我们就接着上面的问题继续解剖下去。

我们再来回顾下 似然函数：

\prod_{i=1}^{m}p(y^{(i)}|x^{(i)};\theta )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(y^{(i)-}{\theta^{T}x^{(i)^{2}} })}{2\sigma ^{2}})

所谓似然函数就是一个大的乘项， 它有多少项，取决于有多少个训练集的样本 ，因为它是判断训练集上发生的总概率最大的这么一个总似然函数。我们分析一下似然函数的取值由哪些因素确定？\pi是常数，\sigma虽然是未知数，但是是个定值不能来回变，误差应该服从方差的高斯分布，不能来回变方差，唯一又能变又能影响最终结果的变量就是这一组w也就是\theta。 那么我们的 目标就是找到一个θ（一组 w） 使通过其计算出来似然函数结果最大 ，我们给似然函数起个名字叫L(\theta ), 为什么括号里是\theta，因为L的大小只看\theta的脸色，其它值都是定值，改变不了最终结果，只有\theta能改变结果，所以是关于\theta的函数。由于似然函数内部带着 exp 函数， 并且函数本身的形式是连乘，不太好求，所以我们在似然函数之前加了个 log 函数，因为 log 函数它是一个单调函数，而且是单调递增函数，不会影响函数的相对大小，并且log(a.b)=loga+logb，loga^{n}=nloga，天生的良好属性。它能函数中的累乘变成累加，更方便求解。所以为了似然函数的更好求解，我们在L(\theta )两边加上 log 函数，如下：

l(\theta )=logL(\theta) =log\prod_{i=1}^{m}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(y^{(i)-}{\theta^{T}x^{(i)^{2}} })}{2\sigma ^{2}})

=\sum_{i=1}^{m}log\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(y^{(i)-}{\theta^{T}x^{(i)^{2}} })}{2\sigma ^{2}}

=mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }-\frac{1}{\sigma ^{2}}.\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}

我们来解析上面的每一步的来源，第一步不用怎么说，就是加了一个 log， 需要注意的是没加 log 之前是大写的L(\theta )，加完 log 之后就是小写的l(\theta )。第一步到第二步实际上就是对于每一个样本之前的累乘，由于log(a.b)=loga+logb，加完 log 之后，所有的累乘变成累加，然后又用\sum表示出来。第二步到第三步，因为第二步中m个log\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(y^{(i)-}{\theta^{T}x^{(i)^{2}} })}{2\sigma ^{2}} 累加，每一个利用log(a.b)=loga+logb属性表示成log\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }+logexp(-\frac{(y^{(i)-}{\theta^{T}x^{(i)^{2}} })}{2\sigma ^{2}}, 而log\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }是常数，所以m个累加就是mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }，而后半部分logexp(-\frac{(y^{(i)-}{\theta^{T}x^{(i)^{2}} })}{2\sigma ^{2}}累加，因为loge=1,log 和 e 在一起可以互相消掉，所以logexp(-\frac{(y^{(i)-}{\theta^{T}x^{(i)^{2}} })}{2\sigma ^{2}})=-\frac{(y^{(i)-}{\theta^{T}x^{(i)^{2}} })}{2\sigma ^{2}}因为每一项x^{i}不一样，所以写成\frac{1}{\sigma ^{2}}.\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}, 同时后半部分结果又把负号也给提出来了，那么加起来结果就是我们的第三步mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }-\frac{1}{\sigma ^{2}}.\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}。给自己鼓个掌吧 ，这么难得公式都会了，而且跟着我一步步的给它解释出来，真是不容易。

到此为止，我们就分析一下，能够使第三步即：

mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }-\frac{1}{\sigma ^{2}}.\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}

最大的\theta是谁呢？ 因为mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }是常数项，不去考虑它，它始终为正，所以有它没它都不会影响相对大小。那么也就是说只要-\frac{1}{\sigma ^{2}}.\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}这一项越大，原始的L(\theta )函数就越大。 注意这前面带个负号，因为我们是看成两个整体相加，所以后半部分的那一项是带个负号的 。那么把负号去掉了，或者说这一项\frac{1}{\sigma ^{2}}.\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}，这一项越小，原始的L(\theta )函数就越大。而\sigma是常数，不影响大小，也就是说能 够使\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}最小的\theta就是能够使L(\theta )最大的\theta。 是不是已经很眼熟了？我们回顾下 MSE（最小二乘），

J(\theta )=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}x^{i}-y^{i})^{2}

发现一模一样，因为里面的(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}位置不会影响相对大小。所以 MSE（最小二乘） 怎么来的？为什么说 MSE（最小二乘）越小\theta就越好，取决于你背后估计了所有的误差，服从高斯分布，如果它不服从高斯分布，也就不能用 mse 来判断了。截止到目前，我们就发现了把它作为损失函数，真的是非常合理 。 实际上这就是它背后的理论依据。

我们总结下，我们说判别模型事先给定一个判别函数，对吧？它这个例子判别函数y=\theta ^{T}x根据判别函数来合理的构造出一个损失函数来。这个损失函数往往都是通过 MLE，也就是最大似然估计为理论基础建立出来的最合理的损失函数，而最大似然的理论源泉是误差服从均值为零的高斯分布，也即样本服从高斯分布，而后通过最大似然一步步推导得到最小二乘。， 所以 mse 的损失函数的根本理论依据是什么？你就应该回答为假设方差服从均值为零的高斯分布。

至于是不是所有的回归问题，都用 MSE 当损失函数，不一定。但是 90% 都是它。在一些特殊的场景里，你已知误差服从别的分布了，那就会建立出别的损失函数来。比如 huber 损失函数，有兴趣可以自己研究下。但 绝大多数的场景都会使用 MSE 作为回归问题的损失函数。 因为在你不知道任何情况的前提下， 假设误差服从高斯分布是最常见且最合理的一种方式。

自此，你从理论方面推导了最大似然和最小二乘的关系，也为最小二乘作为损失函数找到了数学的理论支撑。下一节中我们讲解怎么样求解最小二乘或者使其相对最小，从而找到我们相对合理的模型参数\theta。